Variabel Kompleks : Aplikasi Bilangan Kompleks - Analisis Sinyal [PAPER]

 

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Himpunan bilangan kompleks yang secara umum disimbolkan dengan C, telah banyak diaplikasikan di fisika. Munculnya konsep bilangan kompleks secara alamiah pada abad ke-16 yaitu ketika para matematikawan hendak mengekspresikan seluruh akar dari polynomial. Bilangan interger dapat menyelesaikan persamaan seperti: x + 1 = 0, dan bilangan rasional dapat menyelesaikan seperti: 2x - 1 = 0, serta bilangan nyata (real) dapat menyelesaikan persamaan seperti: x² + 1 = 0. Himpunan bilangan kompleks akhirnya dapat mengekspresikan seluruh akar dari setiap polynomial. [5]

Salah satu aplikasi dari bilangan kompleks adalah analisis sinyal. Analisis dan prediksi performansi dari sistem telekomunikasi berdasarkan power atau daya yang didistribusikan dan analisis frekuensi dari sinyal yang di transmisikan dalam mendesain sebuah sistem telekomunikasi yang handal dapat dilakukan dengan analisis sinyal secara matematis.

Secara teknik, sinyal adalah kuantitas fisik yang berubah - ubah terhadap waktu, ruang, atau variabel - variabel lainnya. Secara fungsi, sinyal dinyatakan dalam bentuk fungsi dari satu atau lebih variabel bebas [1]

Untuk mengembangkan sinyal diperlukan ilmu - ilmu dasar, salah satunya adalah ilmu tentang bilangan kompleks. Seorang ilmuan yang bernama joseph fourier menyumbangkan ilmu pengetahuannya yang berupa rumus yang digunakan untuk analisis sinyal dengan menggunakan bilangan kompleks, yang dikenal dengan analisis fourier.

Karena begitu pentingnya bilangan kompleks, maka penulis tertarik untuk mengambil judul "Aplikasi Bilangan Kompleks" di mana penulis akan mengambil salah satu dari aplikasi bilangan kompleks yaitu analisis sinyal. 

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dalam paper ini adalah sebagai berikut :

a. Apa yang dimaksud dengan bilangan kompleks?

b. Apa yang dimaksud dengan sinyal dan terdiri dari apa saja sinyal tersebut?

c. Apa yang dimaksud dengan analisis sinyal?

d. Apa yang dimaksud dengan analisis fourier?

1.3 Tujuan

Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah diatas, Adapun tujuan dari paper ini adalah sebagai berikut :

a. Mengetahui dan memahami bilangan kompleks

b. Mengetahui dan memahami sinyal dan macam - macam sinyal.

c. Mengetahui dan memahami analisis sinyal.

b. Mengetahui dan memahami analisis fourier.

Baca Juga : Bilangan Kompleks I : Sifat Operasi Bilangan Kompleks - Materi, Contoh Soal dan Latihan Soal

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Bilangan Kompleks

    Bilangan kompleks merupakan bentuk lebih lanjut dari bilangan real yang digunakan sehari - hari. Bilangan kompleks membantu menyelesaikan masalah matematoka yang tidak bisa diselesaikan dengan menggunakan bilangan real saja. 

2.1.1 Definisi

    Bilangan kompleks z adalah pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyata x dan y, dituliskan sebagai [5]

Z = (x,y) = x + iy .... (1)

i disebut sebagai satuan imajiner,

i = √-1 = (0,1) .... (2)

     x disebut sebagai bagian nyata (real) dan y disebut sebagai bagian khayal atau imajiner dari Z, dituliskan sebagai: [5]

x = Re z       ;        y = Im z

    Dengan mengacu pada definisi tersebut, maka dua buah bilangan kompleks adalah sama jika dan hanya jika kedua bagian nyata adalah sama dan kedua bagian imajiner juga adalah sama. [5]

2.1.2 Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, Pembagian

    Misalkan diketahui 2 buah bilangan kompleks : z₁ = x₁ + iy₁ dan z₂ = x₂ + iy₂. [5]

    Dari rumus (2): i = √-1, maka i² = -1

    Sifat dari operasi aljabar terhadap bilangan kompleks: [5]

    

2.1.3 Bidang Kompleks

    Representasi geometri dari bilangan kompleks adalah sebagai titik - titik pada sebuah bidang. Bidang yang dipakai mengacu pada sistem koordinat Cartesian yang terdiri dari sumbu horizontal x (sumbu nyata atau real) dan sumbu vertikal y (sumbu imajiner). [5]

Gambar 2.1 Bidang kompleks [5]

    Pada gambar 2.1 terlihat suatu titik P yang merupakan representasi suatu bilangan kompleks z = (x,y) = x + iy dengan koordinat x,y. Bidang xy yang merupakan representasi bilangan kompleks disebut sebagai bidang kompleks. [5]

    Operasi penjumlahan dan operasi pengurangan dapat diperlihatkan dengan menggunakan bidang kompleks, seperti yang terlihat pada gambar 2.2 dan gambar 2.3 berikut ini. 

Gambar 2.2 Penjumlahan dari dua buah bilangan kompleks [5]

Gambar 2.3 Pengurangan dari dua buah bilangan kompleks [5]

2.1.4 Bentuk Kutub (Polar) dari Bilangan Kompleks

    Representasi geometri dari bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar 2.4. [5]

    z = r(cos θ + i sin θ) .... (14)

    x = r cos θ ; y = r sin θ .... (15)

 : nilai mutlak atau modulus dari z

 

    θ : sudut yang dibentuk oleh z dengan sumbu riil positif

    r : argument dari z, θ = arg z = arc tan y/x, (-𝛑 < θ < 𝛑)

Gambar 2.4 Bidang kompleks dengan bentuk polar [5]

2.1.4.1 Operasi Perkalian dan Pembagian dalam Bentuk Kutub (Polar) dari Bilangan Kompleks

    Misalkan ada 2 buah bilangan kompleks yang dinyatakan dalam bentuk kutub: [5]

    z₁ = r₁ (cos θ₁ + i sin θ₁) dan z₂ = r₂ (cos θ₂ + i sin θ₂) 

    Apabila dua bilangan kompleks tersebut dilakukan operasi perkalian, maka hasilnya adalah: [5]

     z₁z₂ = r₁r₂ [cos (θ₁+θ₂) + i sin (θ₁+θ₂)] .... (16)

  Sedangkan apabila dua bilangan kompleks tersebut dilakukan operasi pembagian, maka hasilnya adalah: [5]

 .... (17)

2.1.4.2 Bentuk Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks

    Rumus De Moivre : zⁿ = rⁿ (cos nθ + i sin nθ) .... (18)

    Bentuk akar dari bilangan kompleks, yaitu :     .... (19)

    Nilai akar - akar sebanyak n buah nilai dari bentuk  dapat diperoleh dengan mengacu pada kedua bentuk persamaan dalam bentuk polar berikut ini, yaitu: [5]

    z = r (cos θ + i sin θ) dan ⍵ = R(cos ø + i sin ø)

    Maka bentuk  .... (20)

    k adalah bilangan interger, yaitu: k = 0,1, ..., n-1, untuk mendapatkan n buah nilai yang berbeda. [5]

 .... (21)

2.1.5 Fungsi Eksponensial dari Bilangan Kompleks

    Notasi : , juga ditulis : exp z

 .... (22)

    Dapat pula dituliskan dalam bentuk deret Mac Laurin: [5]

 .... (23)

 analitik untuk seluruh z.

    Turunannya :  .... (24)

    

    Relasi fungsional :  .... (25)

    Rumus euler :  .... (26)

2.1.6 Fungsi Trigonometrik dari Bilangan Kompleks

    Dari rumus euler : [5]

    

    Maka: [5]

        

.... (27)
.... (28)

    

2.2 Sinyal

Dalam elektronika, sinyal adalah gelombang yang digunakan untuk mengirim informasi dari satu tempat menuju tempat lain. Salah satu bentuk sinyal adalah listrik, baik listrik DC maupun listrik AC. Semua sinyal memiliki frekuensi dan panjang gelombang tertentu. Panjang gelombang berbanding terbalik dengan frekuensi. [2]

Pada sinyal, data dimasukkan dalam bentuk aliran atau gelombang melalui proses modulasi. Proses ini dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu secara analog dan secara digital. Saat ini, sinyal digital lebih umum digunakan daripada sinyal analog. Namun, masih banyak sinyal analog yang digunakan dalam kehidupan kita saat ini. [2]

2.2.1 Sinyal Analog

    Sinyal analog adalah sinyal dengan gelombang yang kontinu dan digambarkan dengan gelombang sinus. Sinyal analog dapat bervariasi dalam amplitudo atau frekuensi. Amplitudo dapat dilihat dari titik tertinggi dan terendah dari gelombang, sedangkan frekuensi dapat dilihat dari panjang gelombang dari ujung kiri ke ujung kanan. [2] Salah satu contoh sinyal analog yaitu jam yang bergerak secara kontinu. 

Gambar 2.5 Sinyal Analog [2]

Sinyal analog memiliki tolerasi terhadap gangguan yang lebih rendah dibanding sinyal digital. Sinyal analog memanfaatkan bandwidth dengan baik dan mudah dimanipulasi secara matematika. Namun, untuk menggunakan sinyal analog, penerima dan pengirim sinyal harus benar - benar cocok agar sinyal dapat diterima dengan baik. [2]

2.2.2 Sinyal Digital

    Sinyal digital merupakan sinyal yang menggunakan nilai diskrit (tidak kontinu). Sinyal digital digambarkan dengan gelombang persegi (square waves). Sinyal digital umum digunakan dalam pemrosesan komputer. Sinyal digital juga dapat di deskripsikan menggunakan kode biner (0 dan 1). Sinyal digital memberikan sinyal yang konstan dan konsisten sehingga lebih banyak digunakan saat ini. Contohnya, jam tangan analog mulai banyak digantikan oleh jam digital yang menunjukkan waktu dalam bentuk numerik secara digital. [2]

Gambar 2.6 Sinyal Digital [2]

Sinyal digital lebih tahan gangguan dibandingkan dengan sinyal analog. Namun, sinyal digital dapat menjadi korup atau rusak jika terdapat gangguan yang berlebih yang menyebabkan data berubah. Saat ini, sudah banyak teknik pengecekan error untuk sinyal digital sehingga kesalahan dapat dikurangi dan dicegah. Sinyal digital juga dapat digunakan menggunakan pengirim sinyal dan penerima sinyal yang sederhana, tidak seperti sinyal analog yang harus benar - benar sesuai. [2]

Tonton Juga : Pembahasan Latihan Soal Bilangan Kompleks [PART 1] | Sifat Operasi Bilangan Kompleks

BAB III

APLIKASI

3.1 Analisis Sinyal

    Bentuk gelombang yang paling penting pada pengolahan sinyal adalah gelombang sinus dan gelombang cosinus. Secara aljabar, gelombang sinus dituliskan [1]

    x(t) = sin (2𝛑ft) .... (29)

    dimana f (dalam Hz) merupakan frekuensi gelombang sinus dan t adalah waktu (dalam sekon). [1] fungsi gelombang sinus dalam bilangan kompleks adalah sebagai berikut.      

     .... (30)

    

   Bilangan komoleks digunakan dalam analisis sinyal dan bidang lainnya yang mendeskripsikan sinyal bervariasi secara periodik. Untuk fungsi nyata yang merepresentasikan kuantitas fisik nyata, sering diistilahkan sinus dan cosinus, fungsi kompleks yang bersesuaian dianggap bagian riil nyatanya sebagai nilai original. Untuk gelombang sinus, diberikan frekuensi, nilai mutlak dari z adalah amplitudo dan argumen arg(z) adalah fase.

    Sebagian besar sinyal dipisahkan menjadi sejumlah komponen sinyal sinusoida, dimana sinyal dapat dibagi menjadi 2, yaitu sinyal periodik dan sinyal non periodik. Untuk analisis sinyal periodik digunakan deret fourier, sedangkan analisis sinyal non periodik digunakan transformasi fourier, Dalam menganalisis sinyal menggunakan bilangan kompleks, yang dikenal dengan analisis fourier.

3.2 Analisis Fourier

    Analisis fourier pada matematika digunakan sebagai proses yang memecahkan masalah bentuk gelombang kompleks dengan menguraikan gelombang tersebut menjadi gelombang sinusoidanya. Setiap gelombang yang kompleks dapat diperlihatkan dari sejumlah gelombang sinus murni yang terdiri dari suatu gelombang sinus dasar ditambah harmonik -  harmonik khusus gelombang itu. Contohnya adalah menambahkan harmonik - harmonik gasal pada gelombang sinus (yaitu 3f, 5f, 7f, dst), akan diperoleh gelombang persegi.

3.2.1 Deret Fourier

    Deret fourier ialah deret yang bersuku sinus dan kosinus dan muncul ketika kita ingin merepresentasikan suatu fungsi periodik f(x) tertentu dengan suatu deret trigonometrik,

.... (31)

          dimana aₙ dan bₙ adalah koefisien - koefisien yang akan dievaluasi untuk berbagi harmonik. [1] Berikut ini adalah rumus - rumus euler.

.... (32)

          Bilangan - bilangan yang dihasilkan oleh persamaan (32) dinamakan koefisien fourier bagi f(x). Deret trigonometrik dapat dilihat sebagai berikut.

.... (33)

           dengan koefisien - koefisien yang ditentukan oleh persamaan (32) dinamakan deret fourier bagi f(x).

3.2.2 Transformasi Fourier

    Transformasi fourier mengubah sebuah fungsi dalam domain waktu menjadi sebuah fungsi dalam domain frekuensi. Bentuk transformasi fourier disebut representasi dengan domain frekuensi. Fungsi dalam domain waktu pasti memiliki sebuah fungsi yang setara dalam domain frekuensi. Tidak semua fungsi dapat dilakukan transformasi fourier. Syarat agar pada fungsi dapat dilakukan transformasi fourier adalah:

    

      Inverse dari transformasi fourier digunakan untuk mentransformasi fungsi dari domain frekuensi menuju domain waktu, yang dirumuskan sebagai berikut.

    .... (34)

        Berikut ini adalah tabel dari transformasi fourier.

Tabel 3.1 Transformasi Fourier [4]

Transformasi fourier digunakan dalam pemrosesan sinyal non periodik seperti sinyal radio, gelombang cahaya, gelombang seismik, hingga gambar. Dari rumus transformasi fourier dapat dilihat bahwa terdapat komponen yang merupakan bilangan kompleks.

Transformasi fourier dan transformasi fourier terbalik memungkinkan dengan mudah mengubah sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi dan kembali lagi. Ini sangat membantu untuk memdesain filter, karena mudah untuk beralih antar domain sehingga benar - benar dapat menggunakannya. Bilangan kompleks telah membantu dalam memahami sifat - sifat sinusoid yang membentuk sinyal tidak beraturan sewenang - wenang dalam persamaan intuitif untuk digunakan dalam memahami sinyal lebih dalam.

3.3 Analisis Frekuensi Sinyal Periodik Waktu Diskrit

    Analisis ini digunakan deret fourier untuk sinyal periodik waktu diskrit. Misal terdapat sinyal periodik x[n] dengan periode x[n] = x[n + N], untuk seluruh n. [1]

    Penggambaran deret fourier untuk x[n] dengan N fungsi eksponensial yang berhubungan secara harmonik

    dan dinyatakan: [1]

    dengan ck adalah koefisien dalam tampilan deret.

3.4 Penerapan Analisis Sinyal

    Contoh - contoh dari penerapan analisis sinyal, khususnya penerapan dari analisis fourier, adalah pengolahan sinyal digital dan pengolahan gambar digital yang mempergunakan versi digital dari analisis fourier (dan analisis wavelet) untuk menyalurkan, mengkompres, memulihkan, dan memproses sinyal gambar digital, sinyal digital audio, dan sinyal video.

    Contoh lain, yang lebih berhubungan dengan AM radio adalah sebagai berikut.

BAB IV

KESIMPULAN

    Berdasarkan pembahasan yang telah penulis uraikan diatas, dapat disimpulkan bahwa:

1. Bilangan kompleks membantu menyelesaikan masalah matematika yang tidak bisa diselesaikan dengan menggunakan bilangan real saja.
2. Bilangan kompleks z adalah pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyata x dan y, dituliskan sebagai Z = (x,y) = x + iy.
3. Bilangan kompleks banyak digunakan dalam berbagai bidang, terutama dalam dunia sinyal.
4. Sinyal adalah gelombang yang digunakan untuk mengirim informasi dari satu tempat menuju tempat lain.
5. Menyalurkan data sinyal dapat dilakukan dengan 2 cara proses modulasi yaitu secara analog dan secara digital.
6. Dalam menganalisis sinyal digunakan bilangan kompleks yang dikenal dengan analisis fourier.
7. Analisis fourier memiliki beberapa seri fourier yang dapat mentransformasikan sinyal satu ke bentuk lainnya, sehingga dapat membantu mengetahui bentuk dari sinyal tersebut.
8. Pada rumus - rumus fourier, bilangan kompleks lebih digunakan dalam bentuk euler di mana untuk merepresentasikan bilangan kompleks tersebut dengan menggunakan bilangan natural e pangkat bilangan imajiner i dikalikan dengan θ.
9. Hadirnya bilangan kompleks sangat mendukung dalam perkembangan sinyal sehingga dapat menghasilkan teknologi - teknologi baru yang lebih baik dari sebelumnya.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Gumilang, Muhammad. 2015. "Aplikasi Bilangan Kompleks dalam Analisis Sinyal". https://adoc.pub/aplikasi-bilangan-kompleks-dalam-analisis-sinyal.html, diakses 14 Mei 2021 pukul 18.11.

[2] Haryono, Stefanus Agus. 2015."Penggunaan Bilangan Kompleks dalam Pemrosesan Signal".https://pdfslide.tips/documents/penggunaan-bilangan-kompleks-dalam-pemrosesan-signalinformatikasteiitbacidrinaldimuniraljabargeometri2015aa.html, diakses 13 Mei 2021 pukul 20.37. 

[3] Kreyszig, Erwin. 1993. "MATEMATIKA TEKNIK LANJUTAN". Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama. 

[4] Nugraha, Beny. 2014. "Pengolahan Sinyal Digital", https://www.slideshare.net/nugrahabeny/pengolahan-sinyal-digital-slide-week-4-transformasi-fourier-sinyal-waktu-diskrit, diakses 17 Mei 2021 pukul 15.21. 

[5] Ratnadewi. dkk. 2019. "MATEMATIKA TEKNIK". Bandung: Rekayasa Sains. 

[6] ____. Tanpa Tahun "Mengapa Bilangan Kompleks Berguna?". https://ichi.pro/id/mengapa-bilangan-kompleks-berguna-177468650329126, diakses 17 Mei 2021 pukul 15.12.

PEMBAHASAN LATIHAN SOAL BILANGAN KOMPLEKS

PART 1 : Sifat Operasi Bilangan Kompleks