Bilangan Kompleks III : Bentuk Polar dan Eksponensial Bilangan Kompleks - Materi, Contoh Soal, dan Latihan Soal

-

Hello readers!!

Pada post kali ini, ghin's blog akan melanjutkan bahasan sebelumnya yaitu mengenai bilangan kompleks. Bagi kalian yang belum baca post sebelumnya, kalian bisa buka link berikut ini.


Langsung saja kita lanjut bahasan bilangan kompleks bagian 3, Selamat membaca!

Pada post sebelumnya telah dijelaskan bentuk kartesian bilangan kompleks, maka sekarang kita akan lanjutkan 2 (dua) bentuk penyajian bilangan kompleks yaitu bentuk polar dan bentuk eksponensial.

b. Bentuk Polar (Kutub)

Bilangan kompleks dapat direpresentasikan dalam bentuk polar (kutub) yang dinyatakan dalam suatu jarak (r) dan titik polar θ yaitu z = (r,θ) [1]. Gambaran geometrisnya dapat dilihat pada gambar 1 berikut ini.
Gambar 1. Bidang Kompleks dalam Bentuk Polar

Berdasarkan gambar 1 diatas, terdapat hubungan sederhana antara bentuk koordinat kutub dengan bentuk kartesian (rectangular) (x,y) :
Sehingga, 
z = (r,θ)
z = x + yi = r cos θ + (r sin θ)i = r(cos θ + i sin θ) = r cis θ = r∠θ
Dimana, 
r = |z| = Modulus = ,
θ = argumen dari z yang ditulis dengan arg (z) = arc tan y/x

Sekawan dari z adalah sebagai berikut

c. Bentuk Eksponensial 

Selain bentuk kartesius dan polar, bilangan kompleks dapat direpresentasikan dalam bentuk eksponensial. Bentuk esponensial ini menggunakan rumus euler dimana 

Rumus Euler :                         

Berikut fungsi trigonometri dalam fungsi eksponensial.
Perlu diketahui bahwa rumus Euler dapat dibuktikan dengan deret Maclaurin pada cos θ, sin θ, dan .
Dengan memakai rumus Euler diatas, dapat diubah dari bilangan kompleks bentuk polar menjadi bentuk eksponensial yang dapat ditulis sebagai
Sehingga merupakan bentuk eksponen dari bilangan kompleks z. Penggunaan bentuk eksponensial tersebut menggunakan sudut yang diukur dalam radian, bukan derajat.

Sekawan dari z bentuk eksponen adalah sebagai berikut
Contoh!
Nyatakan modulus dan argumen bilangan kompleks , kemudian cari nilai nyata/real dan imajiner!
➡ Modulus : 9, Argumen : π/3
Ingat bahwa 
= 9(cos π/3 + i sin π/3)
                  = 9 cos π/3 + (9 sin π/3)i
Real/Nyata = 9 cos π/3 = 9 cos 60° = 4.5
Imajiner = 9 sin π/3 = 9 sin 60° = 7.79

CONTOH SOAL KONVERSI BILANGAN KOMPLEKS 

Setelah penjelasan mengenai bentuk - bentuk penulisan atau penyajian bilangan kompleks diatas, berikut ini akan dijelaskan contoh soal konversi bilangan kompleks.

1. BENTUK KARTESIAN ⇋ BENTUK POLAR

Ubahlah bentuk kartesian z = 3 + 3i ke bentuk polar!
r = |z| = =  = 
θ = Arg z = arc tan y/x = arc tan 3/3 = 45°
z = r (cos θ + i sin θ)
   =  (cos (45° + i sin 45°)
   =  cis 45°
   = ∠ 45°








Ubahlah bentuk polar z = ∠ 45° ke bentuk kartesian!
Diketahui : r = , θ = 45°
z = r (cos θ + i sin θ)
   =  (cos 45° + i sin 45°)
   =  (0.71 + 0.71i)
   = 3.01 + 3.01i
   = 3 + 3i

2. BENTUK KARTESIAN ⇋ BENTUK EKSPONENSIAL

Ubahlah bentuk kartesian z = 3 + 3i ke bentuk eksponensial!
r = |z| = =  = 
θ = Arg z = arc tan y/x = arc tan 3/3 = 45° = 1/4π



Ubahlah bentuk eksponensial ke bentuk kartesian!
Diketahui : r = , θ = 1/4π = 45°
z = r (cos θ + i sin θ)
   =  (cos 45° + i sin 45°)
   = (0.71 + 0.71i)
   = 3.01 + 3.01i
   = 3 + 3i

3. BENTUK POLAR ⇋ BENTUK EKSPONENSIAL

Ubahlah bentuk polar z =  ∠ 45° ke bentuk eksponensial!
Diketahui : r = , θ = 45° = 1/4π
Ubahlah bentuk eksponensial ke bentuk polar!
Diketahui : r = , θ = 1/4π = 45°
z = r (cos θ + i sin θ)
   =  (cos 45° + i sin 45°)
   =  cis 45°
   = ∠ 45°

CONTOH SOAL OPERASI ARITMATIK BILANGAN KOMPLEKS

1. PENJUMLAHAN

a. Bentuk Kartesian
    Hitunglah z1 + z2 , bila z1  = 5 + 2i  dan z2 = 1 + 6i
       z1 + z2 = (5+2i) + (1+6i)
                   = (5+1) + (2+6)i
                   = 6+8i 
b. Bentuk Polar
    Hitunglah z1 + z2 , bila z1  = 5.39 ∠ 21.8°  dan z2 = 6.08 ∠ 80.5°
       Diketahui : r1 = 5.39, r2 = 6.08, θ1 = 21.8°, θ2 = 80.5°
       z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1)
          = 5.39 (cos 21.8° + i sin 21.8°)
          = 5.39 (0.93 + 0.37i)
          = 5.01 + 1.99i    atau dibulatkan 
          = 5 + 2i
       z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2)
          =  6.08 (cos 80.5° + i sin 80.5°)
          = 6.08 (0.17 + 0.99i)
          = 1.03 + 6.02i    atau dibulatkan 
          = 1 + 6i
       z1 + z2 = (5+2i) + (1+6i)
                   = (5+1) + (2+6)i
                   = 6+8i 
c. Bentuk Eksponensial
    Hitunglah z1 + z2 , bila dan 
       Diketahui : r1 = , r2 = , θ1 = 1/4π = 45°, θ2 = 1/6π = 30°
       z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1)
          =  (cos 45° + i sin 45°)
          =  (0.71 + 0.71i)
          = 3.01 + 3.01i   atau dibulatkan 
          = 3 + 3i
       z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2)
          =   (cos 30° + i sin 30°)
          =  (0.87 + 0.5i)
          = 3.01 +     atau dibulatkan 
          = 3 + 
       z1 + z2 = (3 + 3i) + (3 + )
                   = (3+3) + (3+)i
                   = 6 + 4,73i     atau dibulatkan
                   = 6 + 5i

2. PERKALIAN

a. Bentuk Kartesian
    Hitunglah z1 x z2 , bila z1  = 5 + 2i  dan z2 = 1 + 6i
       z1 x z2 = (5+2i)(1+6i)
                   = (5.1 + 5.6i + 2i.1 + 2i.6i)
                   = (5 + 12(-1)) + (30 + 2)i
                   = -7 + 32i
b. Bentuk Polar
    Hitunglah z1 x z2 , bila z1  = 5.39 ∠ 21.8° dan z2 = 6.08 ∠ 80.5°
       z1 x z2 = (5.39 ∠ 21.8°)(6.08 ∠ 80.5°)
                  = (5.39)(6.08) ∠  (21.8°+80.5°)
                  = 32.77 ∠ 102.3°   
c. Bentuk Eksponensial
    Hitunglah z1 x z2 , bila  dan 
       z1 x z2 = ()()
                  = ( x ) 
                  = 

3. PEMBAGIAN

a. Bentuk Kartesian
    Hitunglah z1/z2 , bila z1  = 5 + 2i  dan z2 = 1 + 6i
        
            = 0.46 - 0.76i
b. Bentuk Polar
    Hitunglah z1/z2 , bila z1  = 5.39 ∠ 21.8° dan z2 = 6.08 ∠ 80.5°
       z1/z2 = (5.39 ∠ 21.8°) / (6.08 ∠ 80.5°)
               = (5.39/6.08) ∠  (21.8°-80.5°)
               = 0.87 ∠ -58.7°  
c. Bentuk Eksponensial
    Hitunglah z1/z2 , bila  dan 
       z1/z2 = () / ()
               = (/ ) 
               = 

LATIHAN SOAL BILANGAN KOMPLEKS

Setelah mempelajari contoh soal diatas, waktunya menguji kalian dengan mengerjakan latihan soal berikut ini. Selamat mengerjakan!

Nyatakan bilangan kompleks berikut ini dalam bentuk [r,θ] dan eksponensial
a. 
b. 

Nyatakan bilangan kompleks berikut ini dalam bentuk kartesian dan eksponensial
a. [9, π/3]
b. [-1/2, -3π/4]

Nyatakan bilangan kompleks berikut ini dalam bentuk kartesian dan polar
a. 
b. 

Setelah mempelajari beberapa materi bilangan kompleks mengenai bentuk - bentuk bilangan kompleks hingga latihan soal diatas, semoga dapat dipahami dan lancar dalam mengerjakan soal bilangan kompleks. Kalian bisa comment dibawah bila mengalami kesulitan dalam memahami materi atau mengerjakan latihan soal diatas.

Untuk post bilangan kompleks bagian 3 saya akhiri sampai disini. Silahkan klik link berikut ini untuk mendapatkan materi bilangan kompleks lainnya.


Thank you and see you in the next post! :)

Sumber :

[1] http://repository.ut.ac.id/3865/1/MATA4322-M1.pdf
[2] https://teknik.uma.ac.id/wp-content/uploads/2019/07/46.pdf
[3]https://www.mathcentre.ac.uk/resources/Engineering%20maths%20first%20aid%20kit/latexsource%20and%20diagrams/7_7.pdf
[4] http://repository.uki.ac.id/6092/1/VARIABELKOMPLEKS.pdf
[5] https://www.cimt.org.uk/projects/mepres/alevel/fpure_ch3.pdf
[6]https://www.ncl.ac.uk/webtemplate/ask-assets/external/maths resources/images/Expo_form_complx_num.pdf

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Deret Angka : Pengertian, Contoh Soal, dan Latihan Soal

-
Image
Hello readers!! Kali ini saya akan membahas mengenai DERET ANGKA yang biasanya muncul dalam soal psikotes. Namun sebelum itu, apakah kalian tahu apa itu psikotes? Psikotes adalah tes yang bertujuan untuk memberikan gambaran mengenai aspek - aspek psikis seseorang sesuai dengan kebutuhan dan keperluan klien (perusahaan atau instansi). Dalam psikotest terdiri dari berbagai jenis tes. Tes yang sering digunakan seperti tes kemampuan verbal, tes kemampuan numerik, tes kemampuan penalaran, tes kemampuan spasial, maupun tes kepribadian. [1] Dari berbagai jenis tes yang telah disebutkan diatas, deret angka termasuk ke dalam tes kemampuan numerik yang mana tujuan dari tes kemampuan numerik adalah untuk mengetahui kemampuan berhitung seseorang dengan cermat dan cepat dalam waktu yang terbatas. [1] Bagi kalian yang masih kurang memahami mengenai deret angka, di dalam blog ini akan saya bahas tuntas satu persatu secara detail dengan penuh contoh -  contoh soal sehingg...
Read more

Variabel Kompleks : Aplikasi Bilangan Kompleks - Analisis Sinyal [PAPER]

-
Image
  BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Himpunan bilangan kompleks yang secara umum disimbolkan dengan C, telah banyak diaplikasikan di fisika. Munculnya konsep bilangan kompleks secara alamiah pada abad ke-16 yaitu ketika para matematikawan hendak mengekspresikan seluruh akar dari polynomial. Bilangan interger dapat menyelesaikan persamaan seperti: x + 1 = 0, dan bilangan rasional dapat menyelesaikan seperti: 2x - 1 = 0, serta bilangan nyata (real) dapat menyelesaikan persamaan seperti: x² + 1 = 0. Himpunan bilangan kompleks akhirnya dapat mengekspresikan seluruh akar dari setiap polynomial. [5] Salah satu aplikasi dari bilangan kompleks adalah analisis sinyal. Analisis dan prediksi performansi dari sistem telekomunikasi berdasarkan power atau daya yang didistribusikan dan analisis frekuensi dari sinyal yang di transmisikan dalam mendesain sebuah sistem telekomunikasi yang handal dapat dilakukan dengan analisis sinyal secara matematis. Secara teknik, sinyal adalah kuantitas fisik y...
Read more

Bilangan Kompleks I : Sifat Operasi Bilangan kompleks - Materi, Contoh Soal dan Latihan Soal

-
Image
Hello readers!! Pada blog kali ini akan membahas mengenai bilangan kompleks . Bilangan kompleks ini sering dipakai di bidang teknik elektro yang salah satunya digunakan untuk menggambarkan sifat arus AC (listrik arus bolak - balik), sehingga penting sekali buat kalian yang mengambil jurusan teknik elektro untuk mempelajari bilangan kompleks ini.  Untuk mengetahui lebih lanjut mengenai bilangan kompleks, mari kita masuk ke materi pembahasannya. A. PENGANTAR Dalam matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk  a + ib dimana a,b adalah bilangan riil               i  adalah bilangan imajiner Namun sebelum itu, apakah kalian tahu apa itu bilangan riil dan bilangan imajiner? Bagi kalian yang masih belum mengetahui ataupun ingin sekedar mengingat kembali bilangan tersebut, berikut penjelasannya dibawah ini. Dalam dunia matematika pastinya sudah tidak asing yang namanya bilangan bulat. Seperti ya...
Read more